[2017년 대진고]

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[2학년 1학기 중간 미적분1]

다음 중 극한값이 가장 큰 값은?

④

① [eqn: lim _{n->inf} {3n+1} over {n ^{2} +2n+4}]

② [eqn: lim _{n->inf} sqrt {4n ^{2} +8n} -2n]

③ [eqn: lim _{n -> INF } {} {2 ^{-n} +3 ^{-n+1}} over {2 ^{-n+1} -3 ^{-n}}]

④ [eqn: lim _{n->inf} {3n ^{2} +n} over {1+2+3+cdots+n}]

⑤ [eqn: lim _{n->inf} {6} over {sqrt {n ^{2} +3n} -n}]

함수 [eqn: f(x)= {cases{{x ^{2} -x-a} over {x-2}&(x!=2)#b&(x=2)}}]가 모든 실수 [eqn: x]에서 연속이 되도록 하는 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a-b]의 값은?

②

① [eqn: -5]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 5]

수열 [eqn: left{(x^2 -x-1)^n right}]이 수렴하도록 하는 모든 정수 [eqn: x]의 개수를 [eqn: a]라 하고 급수 [eqn: sum_n=1 ^inf left( { y-2} over { 3}right)^n]이 수렴하도록 하는 모든 정수 [eqn: y]의 개수를 [eqn: b]라 할 때, [eqn: a+b]의 값은?

②

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]가
[eqn: x^2 -ax le f(x) le 2x^2 -ax]
를 만족시키고 [eqn: lim_x->0+ { f(x)} over {3 x}=4]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

③

① [eqn: -16]	② [eqn: -15]	③ [eqn: -12]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 12]

두 수열 [eqn: left{a_n right], [eqn: left{b_n right]이 모두 수렴한다고 할 때, 보기 중에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

⑤

ㄱ. [eqn: lim_n->inf (a_n +b_n )=2], [eqn: lim_n->inf a_n b_n =-3]일 때,

[eqn: lim_n->inf (a_n ^2 +b_n ^2 )=10]이다.

ㄴ. [eqn: lim_n->inf (a_n +b_n )=2], [eqn: lim_n->inf (a_n -2b_n )=5]일 때,

[eqn: lim_n->inf (b_n -3a_n b_n )=8]이다.

ㄷ. [eqn: lim_n->inf { 5a_n -1} over {a_n +1 } =3]일 때, [eqn: lim_n->inf a_n =2]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형 [eqn: rmABCD]의 각 변을 [eqn: 5:2]로 내분하는 점을 연결하여 정사각형 [eqn: rmA_1 B_1 C_1 D_1]을 만든다. 또 정사각형 [eqn: rmA_1 B_1 C_1 D_1]의 각 변을 [eqn: 5:2]로 내분하는 점을 연결하여 정사각형 [eqn: rmA_2 B_2 C_2 D_2]를 만든다. 이와 같은 과정을 한없이 반복하여 [eqn: n]번째 만들어진 정사각형 [eqn: rm A it rm _{n} rm B it rm _{n} rm C it rm _{n} rm D it rm _{n}]의 넓이를 [eqn: S_n]이라고 할 때, [eqn: sum_n=1 ^inf S_n = { p} over { q}]이다. [eqn: p-q]의 값은? [4.3점]

④

① [eqn: 3]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 11]

양의 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)=lim_n->inf { x^n+2 +1} over {x^n-1 +x }]이라 할 때, [eqn: sum_k=1 ^10 f(k)]의 값은?

⑤

① [eqn: 10]	② [eqn: 55]	③ [eqn: 385]

④ [eqn: 1155]	⑤ [eqn: 3025]

실수 전체의 집합에서 정의된 함수
[eqn: f(x)= {cases{lim _{n -> INF } {} {x ^{n+1} +x ^{-n-1}} over {x ^{n} +x ^{-n}}&(x != 0)#0&(x=0)}}]
[eqn: g(x)=x^2 -4x]에 대하여 [eqn: f(x)=g(x)]를 만족하는 실근의 개수는?

③

① [eqn: 0]개	② [eqn: 1]개	③ [eqn: 2]개

④ [eqn: 3]개	⑤ [eqn: 4]개

다음 그림은 정의역이 [eqn: left{x`|`-2 le x le 3 right]인 함수 [eqn: y=f(x)]의
그래프이다. 함수 [eqn: g(x)=-x^2 -x-1]에 대하여
[eqn: lim_x->-1- f(g(x))+lim_x->1+ g(f(x))]의 값은?

②

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같다. 두 함수
[eqn: g(x)=f(x)f(-x)], [eqn: h(x)=f(x)+f(-x)]
에 대하여 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

①

ㄱ. [eqn: lim_x->0 g(x)=-1]

ㄴ. 함수 [eqn: h(x)]는 [eqn: x=0]에서 불연속이다.

ㄷ. 함수 [eqn: g(x)+h(x)]는 실수 전체의 집합에서

연속이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄱ, ㄷ

연속함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(0)=k+2], [eqn: f(2)=k-3]을 만족시킬 때, 방정식 [eqn: f(x)=2]이 열린구간 [eqn: (0,```2)]에서 실근을 갖도록 하는 정수 [eqn: k]의 개수는?

①

① [eqn: 4]개	② [eqn: 3]개	③ [eqn: 2]개

④ [eqn: 1]개	⑤ [eqn: 0]개

자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: a_k =lim_n->inf { 18^n+1} over {k(18^n +k^n ) }]이라 할 때, [eqn: sum_k=1 ^40 ka_k]의 값은?

③

① [eqn: 288]	② [eqn: 306]	③ [eqn: 315]

④ [eqn: 324]	⑤ [eqn: 345]

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f(x)=sum_k=0 ^inf { x^n } over {(1+x^4 )^k }]이 [eqn: x=0]에서 연속이 되기 위한 [eqn: 10]보다 작은 자연수 [eqn: n]의 개수는?

④

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

좌표평면 위에 원점 [eqn: rmO]와 세 점 [eqn: rmA(3,```0)], [eqn: rmB(3,```3)], [eqn: rmC(0,```3)]이 있다. 양수 [eqn: a]에 대하여 유리함수 [eqn: y= { 1} over {x-a } +a]의 그래프가 정사각형 [eqn: rmOABC]의 둘레와 만나는 점의 개수를 [eqn: f(a)]라 하자. [eqn: lim_a->2- f(a)+lim_a->4- f(a)]의 값은?

⑤

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

급수 [eqn: {1} over {1 CDOT 2} + { 1} over {1cdot2+2cdot3 } + { 1} over { 1cdot2+2cdot3+3cdot4} +cdots= { p} over {q }]이다.
[eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소이다.)

③

① [eqn: 3]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 11]

원 [eqn: x^2 +y^2 =k^2] 위의 점과 직선 [eqn: y=-kx+2k] 사이의 거리의 최댓값을 [eqn: M(k)], 최솟값을 [eqn: m(k)]라 할 때, [eqn: lim_k->0+ { m(k)} over {M(k) }]의 값은? (단, [eqn: 0<k< sqrt { 3}]이다.)

④

① [eqn: { sqrt { 2} } over {2 }]	② [eqn: 1over2]	③ [eqn: { sqrt { 2} } over { 4}]

④ [eqn: 1over3]	⑤ [eqn: 1over4]

서술형

[eqn: a_1 =3]인 수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 하자. 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: S_n S_n+1 =10^n]이 성립할 때, [eqn: lim_n->inf { 6a_2n+1 -6a_2n} over {10^n-1 +5^n+1 }]의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

[eqn: 158]

다항함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: f(1)-f`'(1)]의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)=f(-x)]이다.

(나) [eqn: lim_x->-1 { f(x)-10} over { x+1} =2]

[eqn: 12]

함수 [eqn: f(x)=lim_n->inf { ax^n+1 +ax-1} over {x^n -2 }]이 [eqn: x=1]에서 연속이 되도록 하는 상수 [eqn: a]의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

[eqn: 1over3]

[2017년 대진고]

[2학년 1학기 중간 미적분1]

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